同时，它与两个小黄三角形的面积和相等。 刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。 以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。 刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径。
割集，也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。 也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。 引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。 设G是一个图，x是G的一条边，如果G-x的连通分支数大于G的连通分支数，则称x是G的一个桥，或割边。 称作平凡边割（trivial edge cut）。
割: 割点
如果在图中分别选和所有结点相连的支路为割集，则独立割集数就是n-1个。 下面介绍如何借助“树”的概念，寻找独立的割集。 上述定义可以这样理解，即割集是连通图G的边的集合，把这些边移去将使G分离为两个部分，但是，如果少移去其中一条边，图仍将是连通的。
众所周知，古希腊数学取得了非常高的成就，建立了严密的演绎体系。 然而，刘徽的 “割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。 3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法。 如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。 这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。
那么他的原话就是“以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。 最后完全证明了圆面积公式， 证明了圆面积公式，也就证明了“周三径一”的不精确。 随着圆面积公式的证明，刘徽也创造出了求圆周率精确近似值的科学程序。 在刘徽之前古希腊数学家阿基米德也曾研究过求解圆周率的问题。
- 在刘徽之前古希腊数学家阿基米德也曾研究过求解圆周率的问题。
- 割集，也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。
- 如果在图中分别选和所有结点相连的支路为割集，则独立割集数就是n-1个。
- 中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为3：1）的数值来进行有关圆的计算。
- 我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们（2021年）所熟悉的公式。
- 以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。
- 如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。
顺便指出，一个连通图G有许多树，因此所选的树不同，其基本割集也不同。 巧妙地选树及其基本割集组，可使电路矩阵方程稀疏易解。 独立割集不见得是单树支割集，如同独立回路不全是单连支回路一样。 在上述有关割集的定义中，有两点值得注意。
其一，割集是一种极小集合，即如果少移去其中一条边，图仍将是连通的。 就不构成一个割集，因为如果少移去一条边e，仍将使图分离，但是是一个割集。 对于图2，用虚线所示的边集合移去后将使图分离为三个部分，这种边的集合也不是割集。 设S是G的边集E的一个子集，如果在连通图G中删除S的所有边． 则G-S不连通，并且不存在S的真子集使G-S不连通，就称边集S是图G的一个割集。
以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。 在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。 刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。
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认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。 我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们（2021年）所熟悉的公式。 根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。 应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。
图中一个边子集是该图的边割当且仅当它是该图中一些键的不交并。 假设有连通图G，e是其中一条边，如果G-e是不连通的，则边e是图G的一条割边。 对于一个连通图，可以列出与割集数目相等的KCI方程，但这些方程并非都是线性独立的。 对于结点数为n支路数为b的连通图来说，其独立的KCI方程数为n-1个。
证明 每个非平凡的连通图必有生成树，非平凡的树至少有两个度数为1的顶点，它们就不是非平凡的连通图的割点。 数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。 刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
割: 割常见词组
显然，这是所有与 v 关联的边构成的集合。 图中一个极小的非空边割称作键（bond）。 所谓极小，是指一个键的任意真子集都不是边割。
刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。 这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密。 他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。 因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。
”就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。 因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。 于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积。 按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的周长一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率 为3.1415和 3.1416这两个近似数值。 这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。 刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。
他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。 ”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。 刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念。 “差幂” 是后一次与前一次割圆的差值，可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。
如果没有它，那么我们对圆和球体等将束手无策。 同样，圆周率数值的“准确性”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。 这就是人类为什么要求圆周率，而且要求得准的原因。 在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。 树是连通一个图的全部顶点的极小边集合． 割集则是把某些顶点与其他顶点分离的极小边集合，因此它们之间存在着一定的联系是不难理解的。
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。 意思是说：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。 早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。
- 同样，圆周率数值的“准确性”，也直接关乎到我们有关计算的准确性和精确度。
- 顺便指出，一个连通图G有许多树，因此所选的树不同，其基本割集也不同。
- 巧妙地选树及其基本割集组，可使电路矩阵方程稀疏易解。
- 为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。
- ”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。
- 下面介绍如何借助“树”的概念，寻找独立的割集。
- 其一，割集是一种极小集合，即如果少移去其中一条边，图仍将是连通的。
刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。 刘徽在《九章算术注》的自序中表明，把探究数学的根源，作为自己从事数学研究的最高任务。 他注《九章算术》的宗旨就是“析理以辞，解体用图”。 “析理”就是当时学者们互相辩难的代名词。 刘徽通过析数学之理，建立了中国传统数学的理论体系。
如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。 为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。 它其实就是指“圆周长与该圆直径的比率”。 我们人类借助它可以进行关于圆和球体的各种计算。
中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为3：1）的数值来进行有关圆的计算。 但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。 正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。 东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。 这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。
在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想，一个就是我们现在所讲的极限思想。 那么就等于圆周长乘半径等于两个圆面积。 所以一个圆面积等于半周乘半径，所以刘徽说故半周乘半径而为圆幂。
